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空间向量平行公式

　　是两个空间向量a，b向量(b向量不等于0）；a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ；使a=λb的。

空间向量平行公式即共线公式

　　两个空间向量a，b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

空间向量平行公式证明

　　1.充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。

　　2.必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。

　　那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。

　　如果b=0，那么λ=0。

共线公式的推论

　　1.两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。

　　2.两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。

　　3.如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。

　　4.如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。

　　（其中，向量AC=λ向量AB）。

　　5.如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

扩展

向量平行公式的定义

　　1、对于两个向量a(向量a≠向量0)，向量b，当有一个实数λ，使向量b=λ向量a(记住向量是有方向的)则向量a‖向量b。

　　反之，当向量a‖向量b时，有且只有一个实数λ，能使向量b=λ向量a;

　　2、当向量a=(x1，y1)，向量b=(x2，y2)时，当x1y2=x2y1时，向量a‖向量b，反之也成立。

　　“在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。

　　…若a=(x，y)，b=(m，n)，则a//b→a×b=xn-ym=0

　　平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线)，记作a∥b。

　　零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。

　　我们规定：零向量与任一向量平行。

　　平行于同一直线的一组向量是共线向量。

　　若a=(x，y)，b=(m，n)，则a//b→a×b=xn-ym=0

　　共线定理：若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使向量a=λ向量b。

　　若设a=(x1，y1)，b=(x2，y2) ，则有 x1y2=x2y1 ，与平行概念相同。

　　0向量平行于任何向量。

数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律

　　① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

　　② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

向量的数量积的运算律

　　a·b=b·a（交换律）

　　(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的数量积的性质

　　a·a=|a|的平方。

　　a⊥b〈=〉a·b=0。

　　|a·b|≤|a|·|b|。

　　（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的向量积运算律

　　a×b=-b×a

　　(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

　　a×(b+c)=a×b+a×c.

　　(a+b)×c=a×c+b×c.

空间向量平行公式坐标公式是什么？

　　空间向量平行公式坐标公式：d=|Ax0+By0+C|/√A^2+B^2。

　　空间中具有大小和方向的量叫作空间向量。

　　向量的大小叫作向量的长度或模（modulus)。

　　规定：长度为0的向量叫作零向量，记为0。

　　空间向量平行判断方法：

　　设一向量的坐标为（x，y，z），另外一向量的坐标为（a，b，c）。

　　如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行，如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。

　　如果设a=（x，y），b=（x，y）如果ab=0（a和b的数量级）即xx+yy=0，则a⊥b。

　　如果a×b=0，则向量a平行与向量b；λa=b，a与b也平行。