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空间向量平行公式

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空间向量平行公式

空间向量平行公式

  是两个空间向量a,b向量(b向量不等于0);a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ;使a=λb的。

空间向量平行公式即共线公式

  两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb

空间向量平行公式证明

  1.充分性:对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由实数与向量的积的定义 知,向量a与b共线。

  2.必要性:已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。

  那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b =λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=λa。

  如果b=0,那么λ=0。

共线公式的推论

  1.两个向量a、b共线的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ,使得 λa+μb=0。

  2.两个非零向量a、b共线的充要条件是:存在全不为零的实数λ、μ,使得 λa+μb=0。

  3.如果a、b是两个不共线的向量,且存在一对实数λ、μ,使得 λa+μb=0,那么λ=μ=0。

  4.如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是:存在唯一实数λ,使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。

  (其中,向量AC=λ向量AB)。

  5.如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ、ν,使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0。

扩展

向量平行公式的定义

  1、对于两个向量a(向量a≠向量0),向量b,当有一个实数λ,使向量b=λ向量a(记住向量是有方向的)则向量a‖向量b。

  反之,当向量a‖向量b时,有且只有一个实数λ,能使向量b=λ向量a;

  2、当向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)时,当x1y2=x2y1时,向量a‖向量b,反之也成立。

  “在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。

  …若a=(x,y),b=(m,n),则a//b→a×b=xn-ym=0

  平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线),记作a∥b。

  零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定。

  我们规定:零向量与任一向量平行。

  平行于同一直线的一组向量是共线向量。

  若a=(x,y),b=(m,n),则a//b→a×b=xn-ym=0

  共线定理:若b≠0,则a//b的充要条件是存在唯一实数λ,使向量a=λ向量b。

  若设a=(x1,y1),b=(x2,y2) ,则有 x1y2=x2y1 ,与平行概念相同。

  0向量平行于任何向量。

数与向量的乘法满足下面的运算律

  结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

  向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

  数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律

  ① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。

  ② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

向量的数量积的运算律

  a·b=b·a(交换律)

  (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

  (a+b)·c=a·c+b·c(分配律)

向量的数量积的性质

  a·a=|a|的平方。

  a⊥b〈=〉a·b=0。

  |a·b|≤|a|·|b|。

  (该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)

向量的向量积运算律

  a×b=-b×a

  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

  a×(b+c)=a×b+a×c.

  (a+b)×c=a×c+b×c.

空间向量平行公式坐标公式是什么?

  空间向量平行公式坐标公式:d=|Ax0+By0+C|/√A^2+B^2。

  空间中具有大小和方向的量叫作空间向量。

  向量的大小叫作向量的长度或模(modulus)。

  规定:长度为0的向量叫作零向量,记为0。

  空间向量平行判断方法:

  设一向量的坐标为(x,y,z),另外一向量的坐标为(a,b,c)。

  如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数,则两向量平行,如果ax+by+cz=0,则两向量垂直。

  如果设a=(x,y),b=(x,y)如果ab=0(a和b的数量级)即xx+yy=0,则a⊥b。

  如果a×b=0,则向量a平行与向量b;λa=b,a与b也平行。

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